El lenguaje matemático. (Quinta parte)

El arte de la numeración.

 

Por Linda Miriam Silerio Hernández.

Docente del Departamento de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico de Durango

 

 

 

La gramática y los números.

Las reglas gramaticales cambian continuamente, en los últimos tiempos se han puesto de modas “reformas educativas” que han dado al traste con la gramática, introduciendo conceptos lingüísticos que la han embrollado, lo que ha traído como consecuencia lo mismo que ocurrió con la enseñanza matemática en las mal llamadas “matemáticas modernas”: desanimar a los aprendices y una ignorancia enorme. Debido a que nuestras ideas les expresamos y transmitimos por medio del idioma, es imprescindible su dominio, por esta razón es necesario conocer una gramática sencilla y eficaz que nos dé las reglas precisas para una comunicación segura. Sirva para ello la siguiente exposición.

En nuestro idioma empleamos adjetivos determinativos numerales para designar a los números:

El adjetivo (adjectivus, agregado) es la palabra que se agrega al sustantivo (o nombre) para:

a) decir cómo es (calificar), denotar alguna cualidad y

b) determinar o limitar su extensión; por ello los adjetivos se dividen en

Calificativos (a).

Determinativos (b):

Demostrativos. (Esos, aquellos...)

Posesivos. (Mío, tuyo...)

Indefinidos. (Algunos, ciertos lugares...)

Numerales: indican con exactitud la cantidad y número del sustantivo que modifican. A su vez se subdividen en:

Cardinales: los que expresan un número determinado: uno, sesenta y cinco, ciento, dos libros, cinco monedas...

Ordinales: los que a la idea de número añaden orden o sucesión: primero, segundo, tomo tercero, undécimo aniversario... También se usan como sustantivos. La mayoría se forma mediante el sufijo “ésimo”, aunque algunos no siguen esa regla. Los sufijos que se emplean en estos adjetivos hacen el femenino con la terminación “a”.

Partitivos o fraccionarios: los que indican división o partes: media cuadra, medio metro, tres cuartos de hora, media página... Se usan generalmente como sustantivos (comprar un cuarto de litro), y de la serie de los ordinales toman su nombre desde el cuatro hasta el décimo, ambos inclusive. También centésimos, milésimos, diezmilésimos... Los restantes toman el sufijo “avo”: onceavo, veinteavo...

Proporcionales o múltiplos: significan una multiplicación: doble, triple, cuádruplo. También se usan como sustantivos.

Distributivos: a la idea de número asocian la de distribución, en nuestro idioma sólo existe uno: sendos o sendas.

Entre los numerales se incluye también “ambos” que significa “los dos”, y es una reliquia del número dual que fue común en algunos idiomas indoeuropeos antiguos.

Es común cometer el error de usar un partitivo como ordinal, por ejemplo suele decirse “onceavo aniversario”, cuando debe ser “undécimo aniversario”. Cuando se mencionan partes de un todo como en diezmo, mitad... no se trata de adjetivos, sino de sustantivos. También hay sustantivos numerales y sustantivos múltiplos (cuádruplo, céntuplo).    

 

Numeración.

Los números se designan mediante nombres, es evidente que resulta materialmente imposible asignar un nombre propio y un símbolo distinto a cada uno, dado que existe una infinidad de números. Esta dificultad se supera con la numeración.

La numeración es el procedimiento para formar, representar y expresar todos los números concebibles mediante una cantidad muy limitada de vocablos y símbolos.

Distinguimos dos clases de numeración: la verbal y la simbólica. La verbal puede ser oral o escrita.

 

Numeración verbal.

El sistema que empleamos es el decimal --del latín decem (diez) y fijamos los siguientes nombres:

Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez.

Con estos numerales y las siguientes reglas podemos dar nombre a todos los números.

Reunimos los números en grupos de tres en tres a los que llamaremos clases o periodos de tres órdenes de unidades cada una. Cada orden de unidades es diez veces mayor que el que le precede. Así tendremos:

Clase (periodo):

Orden:

Primera

Primero

 

Segundo

 

Tercero

Segunda

Cuarto

 

Quinto

 

Sexto

...

...

...

...

La unidad de cada clase es mil veces mayor que la anterior.

Cada uno de los nueve primeros números expresa unidades simples o de primer orden.

El diez constituye una nueva unidad, la de segundo orden o decena y se compone de diez unidades simples. Sus múltiplos toman los nombres: veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, ochenta, noventa y cien; que equivalen a una decena, dos decenas,..., hasta nueve decenas.

Los nombres de los nueve números comprendidos entre dos decenas consecutivas se expresan mediante el número de decenas y unidades simples que lo forman: treinta y siete, sesenta y seis, hasta noventa y nueve. En nuestro idioma hay algunas excepciones establecidas por el uso: en vez de decir diez y uno, diez y dos, diez y tres, diez y cuatro, diez y cinco, se dan los siguientes nombres especiales once, doce, trece, catorce y quince, respectivamente. Entre el veinte y el treinta los nombres se funden en una sola palabra: veintiuno, veintidós, veintitrés,..., veintinueve.

El número formado por diez decenas es un ciento o centena y se llama cien, es una unidad de tercer orden, y sus múltiplos toman los nombres: doscientos, trescientos, cuatrocientos, quinientos, seiscientos, setecientos, ochocientos, novecientos.

Los nombres de los números comprendidos entre dos centenas consecutivas se forman añadiendo al nombre de cada centena el que le corresponda de los noventa y nueve primeros números: ciento uno, ciento doce, ciento veintitrés, cuatrocientos treinta y cuatro,..., hasta novecientos noventa y nueve.

Hasta aquí tenemos le primer periodo de unidades simples o clase de unidades.

El conjunto de diez centenas es un millar y se llama mil, y es una unidad de segunda clase. Este periodo, al igual que el de las unidades simples, tiene unidades, decenas y centenas que constituyen los órdenes cuarto, quinto y sexto.

Los nombres de los números comprendidos entre dos millares consecutivos se forman añadiendo al nombre de cada grupo de miles los nombres que le correspondan de los primeros novecientos noventa y nueve números.

Con estos nombres se pueden enunciar los números hasta novecientos noventa y nueve mil, al que le sigue como unidad de tercera clase el millón.

Procediendo de esta manera sucesivamente, se llega a

mil millones

billón (millón de millones)

trillón (millón de billones)

y así sucesivamente.

En resumen se tiene la siguiente tabla de numeración en la que se ha representado hasta el periodo 8:

Periodo

Periodo

Periodo

Periodo

Periodo

Periodo

Periodo

Periodo

 

8

 

 

7

 

 

6

 

 

5

 

 

4

 

 

3

 

 

2

 

 

1

 

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

 

de millar de trillón

 

de trillón

 

de millar de billón

 

de billón

 

de millar de millón

 

de millón

 

de millar

 

simples

 

NB: Algunos países (anglosajones y eslavos, principalmente) emplean nombres diferentes; a modo de información y para evitar confusiones sirva la siguiente tabla:

 

 

 

Otros países

Europa nórdica

103

 

mil

mil

mil

106

 

millón

millón

millón

109

 

mil millones

billón

milliarda

1012

millón de millones

billón

trillón

billón

1015

 

mil billones

cuatrillón

billiarda

1018

millón de billones

trillón

quintillón

trillón

1021

 

mil trillones

sextillón

trilliarda

1024

millón de trillones

cuatrillón

septillón

cuatrillón

1027

 

mil cuatrillones

octillón

 

1030

millón de cuatrillones

quintillón

nonillón

 

 

 

...

 

 

10303

 

...

centillón

 

10600

 

centillón

 

 

 

Numeración simbólica.

 

 

 

 


              millar                                   centena                decena                         unidad

Numeración simbólica es el proceso (bien lo podemos llamar arte) de representar los números por medio de signos.

El sistema decimal tiene las siguientes propiedades:

1.- Su base es el diez (agrupa de diez en diez).

2.- Emplea los siguientes símbolos (cifras o guarismos conocidos como números arábigos):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,

Las nueve primeras cifras representan los números uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, y las llamamos unidades. El décimo signo, al que llamamos cero, no tiene valor, es una cifra auxiliar.[1] Se llaman cifras significativas porque convencionalmente representan por sí mismas un valor.

3.- Es posicional: según el lugar que ocupa cada cifra, tiene un valor relativo (unidades, decenas, centenas,...)

4.- Es multiplicativo: toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades diez veces mayores que las que expresa ésta., y todo guarismo escrito a la derecha de otro representa unidades diez veces menores. El cero ocupa el lugar de cualquier orden de unidades donde falte un número. Es obvio que es superfluo escribirlo en la extrema izquierda.

5.- Es aditivo: cada número es la suma de los valores relativos de sus cifras.

 

Cada cifra significativa tiene dos valores: el absoluto y el relativo.

El valor absoluto de una cifra es el que depende de la convención primitiva, es decir, la propiedad 2: por ejemplo, el 1 siempre valdrá uno y nunca asumirá ningún otro valor.

El valor relativo o local de una cifra es el que depende del lugar que ocupa una cantidad, según el orden y periodo (clase). Esto en virtud de la propiedad 4.

Si la primera cifra (extremo derecho) representa unidades simples, la que le sigue a la izquierda representa decenas; la tercera centenas y así sucesivamente.

Para representar simbólicamente cualquier número, se escriben sucesivamente de izquierda a derecha, empezando por la clase mayor, los guarismos que indican cuántas centenas, decenas y unidades hay en cada clase, si faltan cantidades en al gún orden intermedio, se pone cero.

Para leer un número de tres guarismos, se enuncian separadamente las centenas, las decenas y las unidades.

De esta forma en el número 2308, el 2 representa millares; el 3, centenas y el 8, unidades simples: dos mil trescientos ocho (ver el recuadro siguiente).

Cuadro de texto: Número:	2308		

	Propiedad 3 y 4:		

unidades de millar	2	0	0	0	2 veces mil	

centenas	 	3	0	0	3 veces cien	Propiedad 3 y 4. 

decenas 	 	 	0	0	no veces diez	Valor relativo

unidades	 	 	 	8	8 veces uno	

	2	3	0	8		

	Propiedad 5		

	de millar	centenas	decenas	unidades		

	unidades

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Para leer un número representado por muchas cifras se identifican grupos de millones, siguiendo los tres pasos de la siguiente

Regla:

1.- Se separa el número en grupos de tres en tres cifras, empezando por la derecha y se separan por medio de comas, para representar millares.

2.-De derecha a izquierda se se seleccionan de esos grupos otros de dos en dos, o sea, seis en seis cifras; y en la parte inferior izquierda de la primera se escribe en tamaño mas pequeño el número 1, representa los millones; en la segunda el número 2, que representa los billones y así sucesivamente. Es obvio que el último grupo, el de la izquierda, puede tener menos de seis cifras.

3.- Se lee, empezando por la izquierda, el periodo superior como si estuviera solo, después, sucesivamente, los demás. Cuando falta un orden de unidades o un periodo entero, no se menciona.

 

Por ejemplo, sea el número:

4123005036965503045377

Procedemos:

4, 123, 005, 036, 965, 503, 045, 377                                      primer paso

4, 123, 3005, 036, 2965, 503, 1045, 377                                   segundo paso

Este número se lee:                                                        tercer paso

Cuatro mil ciento vientitrés trillones, cinco mil trieinta y seis billones, novecientos sesenta y cinco mil quinientos tres millones, cuarenta y cinco mil trescientos setetenta y siete”.

 

Periodo

 

...

 

8

 

 

7

 

 

6

 

 

5

 

 

4

 

 

3

 

 

2

 

 

1

 

 

Orden

 

...

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

 

 

 

...

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

centenas

decenas

unidades

 

 Clase

 

 

 

 

 

...

 

de millar de trillón

 

de trillón

 

de millar de billón

 

de billón

 

de millar de millón

 

de millón

 

de millar

 

simples

 

 

 

...

100,000,000,000,000,000,000,000

10,000,000,000,000,000,000,000

1,000,000,000,000,000,000,000

100,000,000,000,000,000,000

10,000,000,000,000,000,000

1,000,000,000,000,000,000

100,000,000,000,000,000

10,000,000,000,000,000

1,000,000,000,000,000

100,000,000,000,000

10,000,000,000,000

1,000,000,000,000

100,000,000,000

10,000,000,000

1,000,000,000

100,000,000

10,000,000

1,000,000

100,000

10,000

1,000

100

10

1

 

Ejemplo:

 

 

 

 

 

4

1

2

3

0

0

5

0

3

6

9

6

5

5

0

3

0

4

5

3

7

7

 

 

 

 

 

 

 

cuatro mil

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ciento veintitrés trillones,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 cinco mil

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 treinta y seis billones,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 novecientos sesenta y cinco mil

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 quinientos tres millones,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cuarenta y cinco mil

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trescientos setenta y siete

 

 

 

 

De estos principios resulta que para que un número entero sea diez, cien , mil..., veces mayor, basta agregar a su derecha uno, dos, tres..., ceros.

 

Para obviar la engorrosa escritura de muchos ceros, empleamos una notación abreviada, que consiste en indicar cuántos ceros deben ir después del 1 de la siguiente manera (llamada potencias de 10; el pequeno número en la parte superior derecha del diez se llama exponente e indica la potencia) y el múltiplo con el símbolo X (por):

 

100,000,000,000,000,000,000,000

1023

10,000,000,000,000,000,000,000

1022

1,000,000,000,000,000,000,000

1021

100,000,000,000,000,000,000

1020

10,000,000,000,000,000,000

1019

1,000,000,000,000,000,000

1018

...

...

100,000

105

10,000

104

1,000

103

100

102

10

101

1

100

 

De esta forma, el número 2308 se describe como sigue:

2

3

0

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 X10 0 = 8 X 1 =

8

 

 

 

0 X10 1 = 0 X 10 =

 

 

 

 

3 X10 2 = 3 X 100 =

300

 

 

 

2 X10 3 = 2 X 1000 =

2000

 

 

 

 

 

2308

 

Cualquier número decimal puede ser considerado como suma (indicada con el símbvolo +) de las potencias de 10:

2308 = 2 X10 3 + 3 X10 2 + 0 X10 1 + 8 X10 0

        = 2 X 1000 + 3 X 100 +0 X 10 + 8 X 1

        = 2000 + 300 + 8

 



[1] En el contexto de la numeración, el cero no representa un número, es cifra auxiliar de la escritura posicional, pero en el contexto matemático, el cero es un número.